微分積分例

$\frac{d y}{d t} + \csc (y) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\csc (y)$ を引きます。

$\frac{d y}{d t} = - \csc (y)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{\csc (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\csc (y)} (- \csc (y))$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{\csc (y)} \csc (y)$

ステップ 1.3.2

$\csc (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$- \frac{1}{\csc (y)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - 1$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc (y)} d y = - d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int - 1 d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (y)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int - 1 d t$

ステップ 2.2.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (y)}$ で割ります。

$\int 1 \sin (y) d y = \int - 1 d t$

ステップ 2.2.1.3

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$\int \sin (y) d y = \int - 1 d t$

ステップ 2.2.2

$\sin (y)$ の $y$ に関する積分は $- \cos (y)$ です。

$- \cos (y) + C_{1} = \int - 1 d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \cos (y) + C_{1} = - t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \cos (y) = - t + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- \cos (y) = - t + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- \cos (y) = - t + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$\cos (y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (y) = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (y) = \frac{t}{1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$\cos (y) = t + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (y) = t - 1 \cdot K$

ステップ 3.1.3.1.4

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$\cos (y) = t - K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (t - K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \arccos (t + K)$

微分積分 例

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