微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{1 - y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

ステップ 1.2

$\sqrt{1 - y^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt{1 - y^{2}}$ を $x \sqrt{1 - y^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int x d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ の $y$ に関する積分は $\arcsin (y)$ である

$\arcsin (y) + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arcsin (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \sin (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \sin (\frac{x^{2}}{2} + K)$

微分積分 例

微分積分例