微分積分例

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $2 x y^{2}$ を引きます。

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

ステップ 1.1.3

$2 x \frac{d y}{d x}$ を $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2 x \frac{d y}{d x}$ を $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

ステップ 1.1.3.2

$2 x \frac{d y}{d x}$ を $2 x \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

ステップ 1.1.3.3

$2 x \frac{d y}{d x}$ を $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ で因数分解します。

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

ステップ 1.1.4

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ の各項を $2 x (x y + 1)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ の各項を $2 x (x y + 1)$ で割ります。

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.2.3

$x y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.1

$2$ を $- 2 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.2.1

$2$ を $2 x (x y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.4.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.4.2.1

$2$ を $2 x (x y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

ステップ 1.1.4.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

ステップ 1.1.4.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.2

$- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x y + 1) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.3.1

$\frac{y^{2}}{x y + 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.3.2

$(x y + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.5

$y$ を $- y^{2} x - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.5.1

$y$ を $- y^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.5.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.5.3

$y$ を $y (- y x) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.6

$- y x - 1$ と $x y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.6.1

$- 1$ を $- y x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.6.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.6.3

$- 1$ を $- (y x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.6.4

$- (y x + 1)$ を $- 1 (y x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.6.5

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.6.6

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

ステップ 1.1.4.3.6.7

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

ステップ 1.1.4.3.7

式を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.7.1

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

ステップ 1.1.4.3.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

ステップ 3.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y | | x |) = C$

ステップ 3.3

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| y x |) = C$

ステップ 3.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (| y x |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | y x |$

ステップ 3.6

$y$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $| y x | = e^{C}$ として書き換えます。

$| y x | = e^{C}$

ステップ 3.6.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y x = \pm e^{C}$

ステップ 3.6.3

$y x = \pm e^{C}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

$y x = \pm e^{C}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

ステップ 3.6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

ステップ 3.6.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例