微分積分例

$\frac{1}{3} \cdot \frac{d y}{d x} = y + \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$ の各項に $3$ を掛けます。

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

ステップ 1.3

$\frac{1}{3}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

ステップ 1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

ステップ 1.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

ステップ 1.6

$\frac{1}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2}}{3} e^{3 x} \cdot 3$

ステップ 1.7

$\frac{x^{2}}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} \cdot 3$

ステップ 1.8

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

ステップ 1.9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

ステップ 1.9.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1 x^{2} e^{3 x}$

ステップ 2

$P (x) = - 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 3 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 3 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 3 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- 3 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- 3 x}$ を掛けます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

ステップ 3.3

指数を足して $e^{- 3 x}$ に $e^{3 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$e^{3 x}$ を移動させます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x} e^{- 3 x} (1 x^{2})$

ステップ 3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x - 3 x} (1 x^{2})$

ステップ 3.3.3

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{0} (1 x^{2})$

ステップ 3.4

$e^{0} (1 x^{2})$ を簡約します。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$

ステップ 3.5

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = x^{2}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = x^{2}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int x^{2} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- 3 x} y = \int x^{2} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 8

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ の各項を $e^{- 3 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ の各項を $e^{- 3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- 3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.3.1.3

まとめる。

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.3.1.4

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

微分積分 例

微分積分例