微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

ステップ 1

$x$ について両辺を積分します。

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ステップ 1.1

一次導関数は、 $x$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

ステップ 1.2

$\frac{21}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{21}{10}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3

$u = \sec (x)$ とします。次に $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.3.1

$u = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.3.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

ステップ 1.4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ を $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

ステップ 1.5.2

簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$\frac{21}{10}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

ステップ 1.5.2.2

$10$ に $2$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

ステップ 1.6

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{21}{20}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{21}{20}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

ステップ 3.3.5

簡約します。

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$

微分積分 例

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