微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

$y (e^{x} + 4)$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 0 + 0 + y (e^{x} + 4)$

ステップ 1.1.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + y \cdot 4$

ステップ 1.1.1.4

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + 4 y$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $4 y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 4 y - 4 y$

ステップ 1.1.2.2

$y e^{x} + 4 y - 4 y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$4 y$ から $4 y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 0$

ステップ 1.1.2.2.2

$y e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = y e^{x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$y$ を $y e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x}))$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = e^{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} d x$

ステップ 2.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = e^{x} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = e^{x} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{e^{x} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{e^{x} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{e^{x} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{e^{x} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{e^{x} + C}$ を $e^{e^{x}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{e^{x}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{e^{x}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{e^{x}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{e^{x}}$

微分積分 例

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