微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

$x$ について両辺を積分します。

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ステップ 1.1

一次導関数は、 $x$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 1.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

ステップ 1.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

ステップ 1.4

$- x^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{x} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

ステップ 3.3.5

簡約します。

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.6

項を並べ替えます。

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = C x - \ln (| x |) + D$

微分積分 例

微分積分例