微分積分例

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 2 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = 2 \int u d u$

$e^{y} + C_{1} = 2 \int u d u$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = 1 u^{2} + C_{2}$

$e^{y} + C_{1} = 1 u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{y} + C_{1} = u^{2} + C_{2}$

$e^{y} + C_{1} = u^{2} + C_{2}$

$e^{y} + C_{1} = u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) + C_{2}$

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = \ln^{2} (x) + K$

$e^{y} = \ln^{2} (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

$y = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

$y = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$