微分積分例

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$2 y d y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2.2.3.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 1 + \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 1 + \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$1 + \sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

微分します。

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ステップ 2.3.1.1.2.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3.1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3.1.1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$0 + \cos (x)$

ステップ 2.3.1.1.4

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\cos (x)$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $1 + \sin (x)$ で置き換えます。

$y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y^{2} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

ステップ 3.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

ステップ 3.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

ステップ 3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

微分積分 例

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