微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

ステップ 1

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

ステップ 2.2

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$e^{x}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

ステップ 6.2

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

ステップ 6.3

$e^{x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

ステップ 6.4

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

ステップ 6.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 6.6

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 6.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 6.6.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ に $1$ をかけます。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 6.6.3

分配則を当てはめます。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

ステップ 6.7

$\int e^{x} \sin (x) d x$ を解くと、 $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ であることが分かります。

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

ステップ 6.8

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ を $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ に書き換えます。

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

ステップ 7

$y$ について解きます。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

ステップ 7.1.2

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$\sin (x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

ステップ 7.1.2.2

$\frac{\sin (x)}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

ステップ 7.1.3

$\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ を掛けます。

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ステップ 7.1.3.1

$\frac{1}{2}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

ステップ 7.1.3.2

$e^{x}$ と $\frac{\cos (x)}{2}$ をまとめます。

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

ステップ 7.1.4

$\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

ステップ 7.2

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.2

まとめる。

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.3

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.3.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.6

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1.6.1

$- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.6.2

$e^{x}$ を $- e^{x} \cos (x)$ で因数分解します。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.6.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.6.4

式を書き換えます。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

微分積分 例

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