微分積分例

$\int \frac{2 + \sqrt{x} + x}{x} d x$

ステップ 1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 3.2

式を書き換えます。

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

ステップ 5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x + \int d x$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

ステップ 6.2.2

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 6.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

ステップ 6.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

ステップ 6.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

ステップ 6.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x + \int d x$

ステップ 6.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int d x$

ステップ 6.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.3.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int d x$

ステップ 6.3.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int d x$

ステップ 6.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int d x$

ステップ 6.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + x + C$

ステップ 9

簡約します。

$2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + x + C$

微分積分 例

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