微分積分例

$4 \sqrt{y} = x - y$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 y^{\frac{1}{2}} = x - y$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.8

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.11

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.12

共通因数を約分します。

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ステップ 3.12.1

$2$ を $2 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.12.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.13

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

ステップ 3.14

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

微分します。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 4.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - y'$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - y'$

ステップ 6

$y^{\frac{1}{2}}$ について解きます。

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ステップ 6.1

両辺に $y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$2 y' = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$(1 - y') y^{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$2 y' = y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ と $- y' y^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$2 y' = - y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $y' y^{\frac{1}{2}}$ を足します。

$2 y' + y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2

各項にある共通因数 $y^{\frac{1}{2}}$ を求めます。

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3

$u$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' (u) - (u) = 0$

ステップ 6.3.4

$u$ について解きます。

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ステップ 6.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.4.1.1

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

ステップ 6.3.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

ステップ 6.3.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$2 {y'}^{1} + y' u - u = 0$

ステップ 6.3.4.1.2

簡約します。

$2 y' + y' u - u = 0$

ステップ 6.3.4.2

方程式の両辺から $2 y'$ を引きます。

$y' u - u = - 2 y'$

ステップ 6.3.4.3

$u$ を $y' u - u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.3.1

$u$ を $y' u$ で因数分解します。

$u y' - u = - 2 y'$

ステップ 6.3.4.3.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$u y' + u \cdot - 1 = - 2 y'$

ステップ 6.3.4.3.3

$u$ を $u y' + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$u (y' - 1) = - 2 y'$

ステップ 6.3.4.4

$u (y' - 1) = - 2 y'$ の各項を $y' - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.4.4.1

$u (y' - 1) = - 2 y'$ の各項を $y' - 1$ で割ります。

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

ステップ 6.3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.4.2.1

$y' - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

ステップ 6.3.4.4.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

ステップ 6.3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

ステップ 6.3.5

$y'$ を $u$ に代入します。

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

微分積分 例

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