微分積分例

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x^{3}$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 20$ をかけます。

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{4}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

ステップ 2.2.3

$4$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 60 x^{2}$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 60$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 4.1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x^{3}$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $- 20$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $15 x^{4} - 60 x^{2}$ です。

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$15 {(x^{2})}^{2} - 60 x^{2} = 0$

ステップ 5.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$15 u^{2} - 60 u = 0$

ステップ 5.2.3

$15 u$ を $15 u^{2} - 60 u$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.3.1

$15 u$ を $15 u^{2}$ で因数分解します。

$15 u (u) - 60 u = 0$

ステップ 5.2.3.2

$15 u$ を $- 60 u$ で因数分解します。

$15 u (u) + 15 u (- 4) = 0$

ステップ 5.2.3.3

$15 u$ を $15 u (u) + 15 u (- 4)$ で因数分解します。

$15 u (u - 4) = 0$

ステップ 5.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 5.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x^{2} - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $x^{2} - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 5.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 5.5.2.3

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 5.5.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 5.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 5.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 5.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 5.6

最終解は $15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 2, - 2$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$60 {(0)}^{3} - 120 \cdot 0$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$60 \cdot 0 - 120 \cdot 0$

ステップ 9.1.2

$60$ に $0$ をかけます。

$0 - 120 \cdot 0$

ステップ 9.1.3

$- 120$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ の区間 $(- \infty, - 2)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 60 {(- 4)}^{2}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 60 {(- 4)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$15$ に $256$ をかけます。

$f' (- 4) = 3840 - 60 {(- 4)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = 3840 - 60 \cdot 16$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 60$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = 3840 - 960$

ステップ 10.2.2.2

$3840$ から $960$ を引きます。

$f' (- 4) = 2880$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $2880$ です。

$2880$

ステップ 10.3

一次導関数 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ の区間 $(- 2, 0)$ から $- 1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f' (- 1) = 15 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$15$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 15 - 60 {(- 1)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = 15 - 60 \cdot 1$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 60$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = 15 - 60$

ステップ 10.3.2.2

$15$ から $60$ を引きます。

$f' (- 1) = - 45$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 45$ です。

$- 45$

ステップ 10.4

一次導関数 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ の区間 $(0, 2)$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 60 {(1)}^{2}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$15$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 15 - 60 {(1)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 15 - 60 \cdot 1$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 60$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 15 - 60$

ステップ 10.4.2.2

$15$ から $60$ を引きます。

$f' (1) = - 45$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $- 45$ です。

$- 45$

ステップ 10.5

一次導関数 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ の区間 $(2, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 60 {(4)}^{2}$

ステップ 10.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 60 {(4)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.2

$15$ に $256$ をかけます。

$f' (4) = 3840 - 60 {(4)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 3840 - 60 \cdot 16$

ステップ 10.5.2.1.4

$- 60$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = 3840 - 960$

ステップ 10.5.2.2

$3840$ から $960$ を引きます。

$f' (4) = 2880$

ステップ 10.5.2.3

最終的な答えは $2880$ です。

$2880$

ステップ 10.6

$x = - 2$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 2$ は極大値です。

$x = - 2$ は極大値です

ステップ 10.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.8

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 2$ は極小値です。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 10.9

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$ の極値です。

$x = - 2$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

$x = - 2$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例