微分積分例

$y \sqrt{x + 4} = x y + 8$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 4}$ を ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = x y + 8$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x y + 8)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = y$ および $g (x) = {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y (\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$y (\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7.4

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4] + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.8

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.11.2

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.12

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$

ステップ 3.13

項を並べ替えます。

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $x y + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$x y' + y + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 4.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$x y' + y + 0$

ステップ 4.3.2

$x y' + y$ と $0$ をたし算します。

$x y' + y$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$ と $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.2

指数を足して ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{2 ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 {(x + 4)}^{1} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.3

$2 {(x + 4)}^{1} y'$ を簡約します。

$\frac{2 (x + 4) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 4) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.5

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{(2 x + 8) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.1.3.6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

ステップ 6.2

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $x y'$ を引きます。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} - x y' = y$

ステップ 6.2.2

$- x y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} - x y' \cdot \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

ステップ 6.2.3

$- x y'$ と $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - x y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

ステップ 6.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

ステップ 6.3

両辺に $2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.1.1.3

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.1.1.3.2

式を書き換えます。

$2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.1.1.4

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1.4.1

$x$ を移動させます。

$2 y' x + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.1.1.4.2

$x$ を移動させます。

$2 y' x + 8 y' + y - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.1.1.4.3

$y$ を移動させます。

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

ステップ 6.5.2

$2 y'$ を $2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$2 y'$ を $2 y' x$ で因数分解します。

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

ステップ 6.5.2.2

$2 y'$ を $8 y'$ で因数分解します。

$2 y' x + 2 y' \cdot 4 - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

ステップ 6.5.2.3

$2 y'$ を $- 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$2 y' x + 2 y' \cdot 4 + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

ステップ 6.5.2.4

$2 y'$ を $2 y' x + 2 y' \cdot 4$ で因数分解します。

$2 y' (x + 4) + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

ステップ 6.5.2.5

$2 y'$ を $2 y' (x + 4) + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$2 y' (x + 4 - 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

ステップ 6.5.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 y' (x + 4 - x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

ステップ 6.5.4

項を並べ替えます。

$2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

ステップ 6.5.5

$2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ の各項を $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

$2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ の各項を $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ で割ります。

$\frac{2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.1

$2$ を $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.2.1

$2$ を $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.2.2.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x) + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.2.2.3

$2$ を $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.2.2.4

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 (4)} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.2.2.5

$2$ を $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 (4)$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.2.2.6

共通因数を約分します。

ステップ 6.5.5.2.2.7

式を書き換えます。

$\frac{y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}{- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.2.3

共通因数を約分します。

ステップ 6.5.5.2.4

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.3.2

$y$ を $2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.3.2.1

$y$ を $2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.3.2.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y \cdot - 1}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.3.2.3

$y$ を $y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.3.3

$2$ を $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.3.3.1

$2$ を $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 8}$

ステップ 6.5.5.3.3.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x) + 8}$

ステップ 6.5.5.3.3.3

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 2 \cdot 4}$

ステップ 6.5.5.3.3.4

$2$ を $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 \cdot 4}$

ステップ 6.5.5.3.3.5

$2$ を $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 \cdot 4$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}$

ステップ 6.5.5.3.4

$- 1$ を $- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x + 4)}$

ステップ 6.5.5.3.5

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x) + 4)}$

ステップ 6.5.5.3.6

$- 1$ を $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) + 4)}$

ステップ 6.5.5.3.7

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 4))}$

ステップ 6.5.5.3.8

$- 1$ を $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4))}$

ステップ 6.5.5.3.9

負の数を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.3.9.1

$- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)$ を $- 1 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- 1 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4))}$

ステップ 6.5.5.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)}$

微分積分 例

微分積分例