微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $x - 5$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$x$ を $x^{2} - 10 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 10$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x (x - 10)$ および $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 10) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.3

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \cdot 1) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$x - 10$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.4.6.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.6.2

$x - 5$ を ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$x - 5$ を ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.6.2.2

$x - 5$ を $- 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.6.2.3

$x - 5$ を $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

ステップ 2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$x - 5$ を ${(x - 5)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.7.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.8

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.10

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.11.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10)}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 5) (2 x - 10)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.3

$- 10$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.4

$2$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.1.5

$- 5$ に $- 10$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.2.2

$- 10 x$ から $10 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.1.4

$- 10$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.2

$2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.2.2

$- 20 x + 50$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.2.3

$- 20 x$ と $20 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2.12.2.2.4

$0$ と $50$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{50}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ を $x - 5$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3.1.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

$x$ を $x^{2} - 10 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4.2

$x$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 10$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ です。

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x (x - 10) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 10 = 0$

ステップ 5.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.3.3

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 5.3.4

最終解は $x (x - 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 10$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 10$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{50}{{((0) - 5)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ から $5$ を引きます。

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$- 5$ を $3$ 乗します。

$\frac{50}{- 125}$

ステップ 9.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.2.1

$50$ と $- 125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$\frac{25 (2)}{- 125}$

ステップ 9.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.2.1

$25$ を $- 125$ で因数分解します。

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

ステップ 9.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

ステップ 9.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{- 5}$

ステップ 9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{5}$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 5}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 - 5}$

ステップ 11.2.2

$0$ から $5$ を引きます。

$f (0) = \frac{0}{- 5}$

ステップ 11.2.3

$0$ を $- 5$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = 10$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{50}{{((10) - 5)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$10$ から $5$ を引きます。

$\frac{50}{5^{3}}$

ステップ 13.1.2

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{50}{125}$

ステップ 13.2

$50$ と $125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$\frac{25 (2)}{125}$

ステップ 13.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.2.1

$25$ を $125$ で因数分解します。

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

ステップ 13.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

ステップ 13.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{5}$

ステップ 14

$x = 10$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 10$ は極小値です

ステップ 15

$x = 10$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f (10) = \frac{{(10)}^{2}}{(10) - 5}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$10$ を $2$ 乗します。

$f (10) = \frac{100}{10 - 5}$

ステップ 15.2.2

$10$ から $5$ を引きます。

$f (10) = \frac{100}{5}$

ステップ 15.2.3

$100$ を $5$ で割ります。

$f (10) = 20$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $20$ です。

$y = 20$

ステップ 16

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(10, 20)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例