微分積分例

$y = e^{x} \cos (x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$e^{x} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) e^{x}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$- 2 e^{x} x \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$

ステップ 5.2

$- 2 e^{x} x \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x e^{x} \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$

微分積分 例

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