微分積分例

$2 x \sqrt{x} \sin (x)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

ステップ 2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x) \sin (x)]$

ステップ 2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) \sin (x)]$

ステップ 2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + 1} \sin (x)]$

ステップ 2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sin (x)]$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 2}{2}} \sin (x)]$

ステップ 2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 6

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

ステップ 10.2

$3$ から $2$ を引きます。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 11

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 12

$\sin (x)$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x)) + 2 \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 13.2

項をまとめます。

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ステップ 13.2.1

$2$ と $\frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

ステップ 13.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{6 (\sin (x) (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

ステップ 13.2.3

$2$ を $6 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 13.2.4

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 13.2.4.2

共通因数を約分します。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.4.3

式を書き換えます。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 13.2.4.4

$3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$

微分積分 例

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