微分積分例

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ を ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + \tan^{2} (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + \tan^{2} (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.6

微分します。

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ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

ステップ 4.6.3

総和則では、 $1 + \tan^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

ステップ 4.6.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

ステップ 4.6.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

ステップ 4.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x)$ とします。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4.8

項を簡約します。

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ステップ 4.8.1

$2$ と $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4.8.2

$\tan (x)$ と $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 4.8.3

$2$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 4.8.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 4.8.5

式を書き換えます。

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 4.9

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

ステップ 4.10

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ と $\sec^{2} (x)$ をまとめます。

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.11

簡約します。

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ステップ 4.11.1

項を並べ替えます。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.11.2

項を並べ替えます。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.11.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.11.4

分母を簡約します。

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ステップ 4.11.4.1

${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.11.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 4.11.4.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.4.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 4.11.4.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

ステップ 4.11.4.2

簡約します。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 4.11.5

$\sec^{2} (x)$ と $\sec (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.5.1

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

ステップ 4.11.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.5.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

ステップ 4.11.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

ステップ 4.11.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

ステップ 4.11.5.2.4

$\sec (x) \tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \sec (x) \tan (x)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

微分積分 例

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