微分積分例

$y = \frac{x}{3 - 2 x^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{3 - 2 x^{2}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 3 - 2 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 - 2 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$3 - 2 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $3 - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 2 x (2 x)}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 x \cdot x}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 x^{2}}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{3 + 2 x^{2}}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.8

項を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2} + 3}{{(- 2 x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2 x^{2} + 3}{{(- 2 x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + 3}{{(- 2 x^{2} + 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例