微分積分例

$7 \ln (x^{2} y^{2}) = 6$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (7 \ln (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 \ln (x^{2} y^{2})$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$

ステップ 2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} y^{2}$ とします。

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

ステップ 2.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$7 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} y^{2}$ で置き換えます。

$7 (\frac{1}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ と $7$ をまとめます。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.6

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.7

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

ステップ 2.9

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

ステップ 2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2

項をまとめます。

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ステップ 2.10.2.1

$2$ と $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{14}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.3

$x^{2}$ と $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} (y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.4

$y$ と $\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}} y' + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.5

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y (x^{2} \cdot 14) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.6

$14$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{y (14 \cdot x^{2}) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.7

$14$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{14 \cdot y x^{2} y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.8

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.8.1

$y$ を $14 y x^{2} y'$ で因数分解します。

$\frac{y (14 x^{2} y')}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.8.2.1

$y$ を $x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.9

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.9.2

式を書き換えます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.10

$2$ と $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.11

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

ステップ 2.10.2.12

$y^{2}$ と $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} x$

ステップ 2.10.2.13

$\frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14 x}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 2.10.2.14

$14$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 \cdot y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 2.10.2.15

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.15.1

共通因数を約分します。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 2.10.2.15.2

式を書き換えます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 x}{x^{2}}$

ステップ 2.10.2.16

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.16.1

$x$ を $14 x$ で因数分解します。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x^{2}}$

ステップ 2.10.2.16.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.10.2.16.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

ステップ 2.10.2.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

ステップ 2.10.2.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x}$

ステップ 3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $\frac{14}{x}$ を引きます。

$\frac{14 y'}{y} = - \frac{14}{x}$

ステップ 5.2

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

ステップ 5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$14 y' = - \frac{14}{x} y$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- \frac{14}{x} y$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$y$ と $\frac{14}{x}$ をまとめます。

$14 y' = - \frac{y \cdot 14}{x}$

ステップ 5.3.2.1.2

$14$ を $y$ の左に移動させます。

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$

ステップ 5.4

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$ の各項を $14$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$ の各項を $14$ で割ります。

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

ステップ 5.4.3.2

$14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.1

$- \frac{14 y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' = \frac{- 14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

ステップ 5.4.3.2.2

$14$ を $- 14 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

ステップ 5.4.3.2.3

共通因数を約分します。

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

ステップ 5.4.3.2.4

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y}{x}$

ステップ 5.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

微分積分 例

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