微分積分例

$y^{4} - 4 y^{2} = x^{4} - 9 x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 9 x^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $y^{4} - 4 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 2.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 y^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$4 y^{3} y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$4 y^{3} y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y^{3} y' - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 y^{3} y' - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 y^{3} y' - 4 (2 y y')$

ステップ 2.3.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x^{4} - 9 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 9 (2 x)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$4 x^{3} - 18 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$4 y y'$ を $4 y^{3} y' - 8 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$4 y y'$ を $4 y^{3} y'$ で因数分解します。

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

ステップ 5.1.2

$4 y y'$ を $- 8 y y'$ で因数分解します。

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 18 x$

ステップ 5.1.3

$4 y y'$ を $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ で因数分解します。

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$

ステップ 5.2

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ の各項を $4 y (y^{2} - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ の各項を $4 y (y^{2} - 2)$ で割ります。

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.3

$y^{2} - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 18$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$2$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.2.1

$2$ を $4 y (y^{2} - 2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 5.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

微分積分 例

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