微分積分例

$y = \frac{x}{e^{x}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (y) = x$ および $g (y) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.2

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3.4

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$x'$ を $e^{x} x' - e^{x} x x'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

$x'$ を $e^{x} x'$ で因数分解します。

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.2.1.2

$x'$ を $- e^{x} x x'$ で因数分解します。

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.2.1.3

$x'$ を $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ で因数分解します。

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.2.2

$e^{x}$ を $e^{x} - e^{x} x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.2.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.2.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ で因数分解します。

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.3

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

$e^{2 x}$ を $x' e^{x} (1 - x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 3.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 3.6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

ステップ 3.6.3.2.4

$x' e^{- x} (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$x' e^{- x} (1 - x)$

ステップ 3.6.4

分配則を当てはめます。

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

ステップ 3.6.5

$x'$ に $1$ をかけます。

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

ステップ 3.6.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

ステップ 3.6.7

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式を $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ として書き換えます。

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

ステップ 5.2

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ の因数を並べ替えます。

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

ステップ 5.3

$x' e^{- x}$ を $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$x' e^{- x}$ を $x' e^{- x}$ で因数分解します。

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

ステップ 5.3.2

$x' e^{- x}$ を $- x x' e^{- x}$ で因数分解します。

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

ステップ 5.3.3

$x' e^{- x}$ を $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ で因数分解します。

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

ステップ 5.4

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$ の各項を $e^{- x} (1 - x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$ の各項を $e^{- x} (1 - x)$ で割ります。

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

ステップ 5.4.2.2

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

微分積分 例

微分積分例