微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

ステップ 1.1.2

指数 $- x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{- x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

ステップ 1.1.3

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

ステップ 1.4

$- e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

ステップ 2

関数 $e^{- x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 1$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

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ステップ 2.1

定数の倍数 $- 1$ を削除した極限を考えます。

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

ステップ 2.2

指数 $- x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{- x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\infty$

ステップ 2.3

関数 $e^{- x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は負の定数 $- 1$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

$- \infty$

微分積分 例

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