微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} {(3 x + 1)}^{\cot (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(3 x + 1)}^{\cot (x)}$ を $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$

ステップ 1.2

$\cot (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})$ を展開します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (3 x + 1)}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (3 x + 1)}$

ステップ 3

$\cot (x) \ln (3 x + 1)$ を $\frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (3 \cdot 0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

三角関数の公式を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

ステップ 4.1.3.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ で割ります。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

ステップ 4.1.3.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

ステップ 4.1.3.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 4.1.3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

ステップ 4.1.3.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 1$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 1$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.3

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.8

$3$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.9

$\frac{1}{3 x + 1}$ と $3$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

ステップ 4.3.10

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

ステップ 4.3.11

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

ステップ 4.3.12

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

ステップ 4.3.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.13.1

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

ステップ 4.3.13.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

ステップ 4.3.14

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.15

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.16

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.17

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.19

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.20

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.21

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.22

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.23

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.24

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.26

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.27

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.27.1

項を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.27.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3}{3 x + 1} \cos^{2} (x)}$

ステップ 4.5

$\frac{3}{3 x + 1}$ と $\cos^{2} (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{3 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

ステップ 5.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

ステップ 5.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$e^{3 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

ステップ 5.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

ステップ 5.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

ステップ 5.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

ステップ 5.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

ステップ 6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

ステップ 6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 \cdot 0 + 1}}$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 0 + 1}}$

ステップ 7.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{3 \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$e^{3 \frac{1}{0 + 1}}$

ステップ 7.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

ステップ 7.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

共通因数を約分します。

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

ステップ 7.3.2

式を書き換えます。

$e^{3 \cdot 1}$

ステップ 7.4

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{3}$

微分積分 例

微分積分例