微分積分例

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ , $(3, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.3.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 1.2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 1.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 1.2.6.2

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $25 (x^{2} - y^{2})$ の微分係数は $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ です。

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

ステップ 1.3.1.2

総和則では、 $x^{2} - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

ステップ 1.3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

ステップ 1.3.1.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$25 (2 x - 2 y y')$

ステップ 1.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

分配則を当てはめます。

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

ステップ 1.3.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

$2$ に $25$ をかけます。

$50 x + 25 (- 2 y y')$

ステップ 1.3.5.2.2

$- 2$ に $25$ をかけます。

$50 x - 50 y y'$

ステップ 1.3.5.3

項を並べ替えます。

$- 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.2

0を加えて簡約します。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.5

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.6

$4$ に $2$ をかけます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.7

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.7.1

$y^{2}$ を移動させます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.7.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.1.4.8

$4$ に $2$ をかけます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺に $50 y y'$ を足します。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

ステップ 1.5.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

方程式の両辺から $8 x^{3}$ を引きます。

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

ステップ 1.5.3.2

方程式の両辺から $8 x y^{2}$ を引きます。

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 1.5.4

$2 y y'$ を $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 y y'$ を $8 y y' x^{2}$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.2

$2 y y'$ を $8 y^{3} y'$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.3

$2 y y'$ を $50 y y'$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.4

$2 y y'$ を $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.5

$2 y y'$ を $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 1.5.5

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ の各項を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ の各項を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で割ります。

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.2.3

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1

$50$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1.1

$2$ を $50 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.2.1

$2$ を $- 8 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.2.2.1

$2$ を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.4

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.4.1

$2$ を $- 8 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.4.2.1

$2$ を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

ステップ 1.5.5.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

ステップ 1.5.5.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.5

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.5.1

$y$ を $- 4 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.1.5.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

ステップ 1.5.5.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

ステップ 1.5.5.3.2

$- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 1.5.5.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.3.1

$\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

ステップ 1.5.5.3.3.2

$(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.6

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.6.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.6.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.7

$x$ を $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.7.1

$x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.7.2

$x$ を $25 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.7.3

$x$ を $- 4 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.7.4

$x$ を $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.7.5

$x$ を $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.8

$- 1$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.9

$25$ を $- 1 (- 25)$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.10

$- 1$ を $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.11

$- 1$ を $- 4 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.12

$- 1$ を $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.13

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.13.1

$- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ を $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.5.5.3.13.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.7

$y = 1$ と $x = 3$ における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 {(3)}^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 {(1)}^{2})}{(1) (4 {(3)}^{2} + 4 {(1)}^{2} + 25)}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3 (4 \cdot 9 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

ステップ 1.7.3.2

$4$ に $9$ をかけます。

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

ステップ 1.7.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

ステップ 1.7.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3 (36 - 25 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

ステップ 1.7.3.5

$36$ から $25$ を引きます。

$- \frac{3 (11 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

ステップ 1.7.3.6

$11$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{3 \cdot 15}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

ステップ 1.7.4

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

ステップ 1.7.4.2

$3$ に $15$ をかけます。

$- \frac{45}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

ステップ 1.7.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{45}{4 \cdot 9 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

ステップ 1.7.5.2

$4$ に $9$ をかけます。

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

ステップ 1.7.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1 + 25}$

ステップ 1.7.5.4

$4$ に $1$ をかけます。

$- \frac{45}{36 + 4 + 25}$

ステップ 1.7.5.5

$36$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{45}{40 + 25}$

ステップ 1.7.5.6

$40$ と $25$ をたし算します。

$- \frac{45}{65}$

ステップ 1.7.6

$45$ と $65$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1

$5$ を $45$ で因数分解します。

$- \frac{5 (9)}{65}$

ステップ 1.7.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.2.1

$5$ を $65$ で因数分解します。

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

ステップ 1.7.6.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

ステップ 1.7.6.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{9}{13}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $- \frac{9}{13}$ と与えられた点 $(3, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{9}{13} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{9}{13} x - \frac{9}{13} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{9}{13}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} - \frac{9}{13} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{9}{13} \cdot - 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + 3 (\frac{9}{13})$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ と $\frac{9}{13}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{3 \cdot 9}{13}$

ステップ 2.3.1.5.3

$3$ に $9$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{27}{13}$

ステップ 2.3.1.6

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 1 = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + \frac{13}{13}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27 + 13}{13}$

ステップ 2.3.2.4

$27$ と $13$ をたし算します。

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{40}{13}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{9}{13} x) + \frac{40}{13}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{9}{13} x + \frac{40}{13}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例