微分積分例

$P (x) = - x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ , $x \geq 5$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [100]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$\frac{27}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{27}{2} x^{2}$ の微分係数は $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ と $\frac{27}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.4

$2$ に $27$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.5

$\frac{54}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.6

$54$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.6.1

$2$ を $54 x$ で因数分解します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.3.6.2.4

$27 x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 60 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 60 x$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.4.3

$- 60$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 1.1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.5.1

$100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + 0$

ステップ 1.1.1.5.2

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $P (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ です。

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- 3$ を $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$- 3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 3$ を $27 x$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 60 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$- 3$ を $- 60$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$- 3$ を $- 3 (x^{2}) - 3 (- 9 x)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$- 3$ を $- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 (20)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

ステップ 1.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 9 x + 20$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $20$ で、その和が $- 9$ です。

$- 5, - 4$

ステップ 1.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 3 ((x - 5) (x - 4)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.4

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 1.2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.6

最終解は $- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 4$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = 5$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$- {(5)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$5$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$- 1$ に $125$ をかけます。

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 100$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$\frac{27}{2} \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.1

$\frac{27}{2}$ と $25$ をまとめます。

$- 125 + \frac{27 \cdot 25}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2

$27$ に $25$ をかけます。

$- 125 + \frac{675}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$- 60$ に $5$ をかけます。

$- 125 + \frac{675}{2} - 300 + 100$

ステップ 1.4.1.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$- 125$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 125}{1} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$\frac{- 125}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 125}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$\frac{- 125}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

ステップ 1.4.1.2.2.4

$- 300$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} + 100$

ステップ 1.4.1.2.2.5

$\frac{- 300}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{2}{2} + 100$

ステップ 1.4.1.2.2.6

$\frac{- 300}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + 100$

ステップ 1.4.1.2.2.7

$100$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1}$

ステップ 1.4.1.2.2.8

$\frac{100}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.4.1.2.2.9

$\frac{100}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100 \cdot 2}{2}$

ステップ 1.4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 125 \cdot 2 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

ステップ 1.4.1.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$- 125$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 250 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$- 300$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 100 \cdot 2}{2}$

ステップ 1.4.1.2.4.3

$100$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 200}{2}$

ステップ 1.4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

$- 250$ と $675$ をたし算します。

$\frac{425 - 600 + 200}{2}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$425$ から $600$ を引きます。

$\frac{- 175 + 200}{2}$

ステップ 1.4.1.2.5.3

$- 175$ と $200$ をたし算します。

$\frac{25}{2}$

ステップ 1.4.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$- {(4)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 1$ に $64$ をかけます。

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot 16 - 60 \cdot 4 + 100$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.4.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 (8)) - 60 \cdot 4 + 100$

ステップ 1.4.2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 60 \cdot 4 + 100$

ステップ 1.4.2.2.1.4.3

式を書き換えます。

$- 64 + 27 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 100$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$27$ に $8$ をかけます。

$- 64 + 216 - 60 \cdot 4 + 100$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$- 60$ に $4$ をかけます。

$- 64 + 216 - 240 + 100$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$- 64$ と $216$ をたし算します。

$152 - 240 + 100$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$152$ から $240$ を引きます。

$- 88 + 100$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$- 88$ と $100$ をたし算します。

$12$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(5, \frac{25}{2}), (4, 12)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(5, \frac{25}{2})$

ステップ 3

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $P (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $P (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $P (x)$ の値で発生します。

最大値： $(5, \frac{25}{2})$

絶対最小値はありません

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例