微分積分例

$\int (- 6 x + 2) {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{3} d x$

ステップ 1

$u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ とします。次に $d u = (- 6 x + 2) d x$ すると、 $\frac{1}{- 6 x + 2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$- 3 x^{2} + 2 x + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2 x + 5]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$- 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 x + 2 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$- 6 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$- 6 x + 2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{3} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{4} + C$

微分積分 例

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