微分積分例

$y = \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.6

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.7

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 0) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.8

$3 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.10

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.10.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

ステップ 2.10.2

$x$ を $x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ で因数分解します。

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ステップ 2.10.2.1

$x$ を $x^{2} (3 x^{2} - 6 x)$ で因数分解します。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

ステップ 2.10.2.2

$x$ を $- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ で因数分解します。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

ステップ 2.10.2.3

$x$ を $x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))$ で因数分解します。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

ステップ 3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.3

式を書き換えます。

$\frac{x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{3} - 6 x \cdot x - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{3} - 6 (x \cdot x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.5

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.6

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{x^{3}}$

ステップ 4.3.2

$3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.2.1

$- 6 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 0 - 8}{x^{3}}$

ステップ 4.3.2.2

$3 x^{3} - 2 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 8}{x^{3}}$

ステップ 4.3.3

$3 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{x^{3} - 8}{x^{3}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{3}}$

ステップ 4.4.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3}}$

ステップ 4.4.3

簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{3}}$

ステップ 4.4.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{3}}$

微分積分 例

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