微分積分例

$y = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \sec (x) + \tan (x)$ および $g (x) = \sec (x) - \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) - \tan (x)] + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.2

総和則では、 $\sec (x) - \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.6

総和則では、 $\sec (x) + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.7

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.8

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1.1

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.1.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.3

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1.3.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.3.2

$\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1.3.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.4

$\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1.4.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.4.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.2

$- \tan (x) \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.3

$\sec^{2} (x) \tan (x)$ から $\sec^{2} (x) \tan (x)$ を引きます。

$0 - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.2.4

$0$ から $\sec^{3} (x)$ を引きます。

$- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.3

$\sec (x)$ を $- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.3.1

$\sec (x)$ を $- \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.3.2

$\sec (x)$ を $\tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.3.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.4

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.5

$- 1$ を $\tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.6

$- 1$ を $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sec (x) (- 1 \cdot 1) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sec (x) \cdot - 1 + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.9

$- 1$ を $\sec (x)$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.10

$- 1 \sec (x)$ を $- \sec (x)$ に書き換えます。

$- \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.11.1

分配則を当てはめます。

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.11.2

分配則を当てはめます。

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.11.3

分配則を当てはめます。

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.12.1.1

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.12.1.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.1.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.2

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.12.1.2.1

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.12.1.2.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.3

$- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.12.1.3.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.3.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.9.1.12.2

$- \tan (x) \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 3.9.1.12.3

$\sec^{2} (x) \tan (x)$ から $\sec^{2} (x) \tan (x)$ を引きます。

$- \sec (x) + 0 + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

ステップ 3.9.1.12.4

$0$ と $\sec^{3} (x)$ をたし算します。

$- \sec (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

ステップ 3.9.1.13

$\sec (x)$ を $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.13.1

$\sec (x)$ を $\sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

ステップ 3.9.1.13.2

$\sec (x)$ を $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.13.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 3.9.1.14

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$

ステップ 3.9.1.15

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$- \sec (x) + \sec (x)$

ステップ 3.9.2

$- \sec (x)$ と $\sec (x)$ をたし算します。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 0$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 0$

微分積分 例

微分積分例