微分積分例

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} + x e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} + x e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{x} + x e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

ステップ 3.4

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 3.6.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

ステップ 3.6.2.2

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ の因数を並べ替えます。

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

ステップ 3.7.2

$e^{x}$ を $e^{x} + x e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.2.1

$1$ を掛けます。

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

ステップ 3.7.2.2

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

ステップ 3.7.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ で因数分解します。

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

ステップ 3.7.3

$x e^{x} + 2 e^{x}$ に $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ をかけます。

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

ステップ 3.7.4

$e^{x}$ を $x e^{x} + 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.4.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

ステップ 3.7.4.2

$e^{x}$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

ステップ 3.7.4.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

ステップ 3.7.5

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

ステップ 3.7.5.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 2}{1 + x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{1 + x}$

微分積分 例

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