微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

ステップ 1

$x = 4$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

ステップ 1.2

$\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \sqrt{16 + 9}$

ステップ 1.2.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$y = \sqrt{25}$

ステップ 1.2.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{5^{2}}$

ステップ 1.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 5$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 5$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 9}$ を ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 9$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 9$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 2.8

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 2.10

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 2.11

項を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 2.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 2.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.11.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.11.5

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.12

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13

分母を簡約します。

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ステップ 2.13.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.13.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.13.5.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{5^{1}}$

ステップ 2.13.6

指数を求めます。

$\frac{4}{5}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{4}{5}$ と与えられた点 $(4, 5)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{4}{5}$ と $x$ をまとめます。

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.5

$\frac{4}{5} \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$\frac{4}{5}$ と $- 4$ をまとめます。

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

ステップ 3.3.1.5.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

ステップ 3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

ステップ 3.3.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.3.2.3

$5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 16$ と $25$ をたし算します。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例