微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x (x^{2} + 1)}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

ステップ 1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

ステップ 1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x \cdot 1}$

ステップ 1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{3}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

ステップ 3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

ステップ 3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

ステップ 3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

ステップ 3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x}{x^{3}}}$

ステップ 3.2.2

$x$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{1}}{x^{3}}}$

ステップ 3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{3}}}$

ステップ 3.2.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

ステップ 3.2.2.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

ステップ 3.2.2.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 3.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 5

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 7.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + 0}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 9$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

ステップ 9.1.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{1 + 0}$

ステップ 9.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{1}$

ステップ 9.3

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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