微分積分例

$y = \frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 1 + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.10

$5$ と $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{5 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (1 (- \sin (x))) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.11.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.3.1.1

$- \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 (- \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.4

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.11.3.1.4.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.5

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.2

$- 5$ を $- 5 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.3

$- 5$ を $- 5 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.4

$- 5$ を $- 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.6

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 5 \sin (x) - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.4

項を並べ替えます。

$\frac{- 5 - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.5

$- 5$ を $- 5 - 5 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.11.5.1

$- 5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\frac{- 5 (1) - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.5.2

$- 5$ を $- 5 \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 5 (1) - 5 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.5.3

$- 5$ を $- 5 (1) - 5 (\sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 5 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.6

$1 + \sin (x)$ と ${(1 + \sin (x))}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.6.1

$1 + \sin (x)$ を $- 5 (1 + \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.6.2.1

$1 + \sin (x)$ を ${(1 + \sin (x))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 3.11.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 3.11.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5}{1 + \sin (x)}$

ステップ 3.11.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{1 + \sin (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$

微分積分 例

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