微分積分例

$lim_{x \to \infty} {(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$ を $e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{2}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

ステップ 2.2

$\frac{2}{x}$ と $\ln (e^{3 x} + 5)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

ステップ 2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + 5)}{lim_{x \to \infty} x}}$

ステップ 3.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

ステップ 3.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{3 x} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{3 x} + 5$ とします。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{3 x} + 5$ で置き換えます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $e^{3 x} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.8

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 e^{3 x} + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.10

$3 e^{3 x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \cdot 3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.11

$3$ と $\frac{1}{e^{3 x} + 5}$ をまとめます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{e^{3 x} + 5} e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.12

$\frac{3}{e^{3 x} + 5}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}$ に $1$ をかけます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

ステップ 4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{2 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

ステップ 5.1.2

指数 $3 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

ステップ 5.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 5}}$

ステップ 5.1.3.2

指数 $3 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{3 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 5}}$

ステップ 5.1.3.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + 5}}$

ステップ 5.1.3.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 5.1.3.5

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

ステップ 5.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

ステップ 5.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

ステップ 5.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

ステップ 5.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

ステップ 5.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

ステップ 5.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

ステップ 5.3.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

ステップ 5.3.7

総和則では、 $e^{3 x} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]}}$

ステップ 5.3.8

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

ステップ 5.3.8.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

ステップ 5.3.8.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

ステップ 5.3.8.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

ステップ 5.3.8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}}$

ステップ 5.3.8.4

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5]}}$

ステップ 5.3.8.5

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5]}}$

ステップ 5.3.9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 0}}$

ステップ 5.3.10

$3 e^{3 x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

ステップ 5.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

共通因数を約分します。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

ステップ 5.4.1.2

式を書き換えます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

ステップ 5.4.2

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

共通因数を約分します。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

ステップ 5.4.2.2

式を書き換えます。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{2 \cdot 3 \cdot 1}$

ステップ 7

$2 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ に $3$ をかけます。

$e^{6 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$6$ に $1$ をかけます。

$e^{6}$

微分積分 例

微分積分例