微分積分例

$\int x \sqrt{1 - x^{4}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{1 - {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{1 - {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2

$\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = \sin (t)$ とします。次に $d u_{1} = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 5.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \int \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

ステップ 5.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

ステップ 5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 5.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 6

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 11

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 11.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 12

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 14

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 16.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 16.4

$t$ のすべての発生を $\arcsin (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

ステップ 16.5

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x^{2}))) + C$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2}) + C$

ステップ 17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

ステップ 17.3

$\frac{1}{4}$ と $\arcsin (x^{2})$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

ステップ 17.4

まとめる。

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1 \sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 17.5

各項を簡約します。

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ステップ 17.5.1

$\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ に $1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 17.5.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{8} + C$

ステップ 18

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x^{2})) + C$

微分積分 例

微分積分例