微分積分例

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (y) = x^{4}$ および $g (y) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

ステップ 2.5

$f (y) = y^{4}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.5.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.6

$4$ を $x + y$ の左に移動させます。

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 2.7

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

ステップ 2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

ステップ 2.8.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

ステップ 2.8.3

分配則を当てはめます。

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

ステップ 2.8.4

分配則を当てはめます。

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

ステップ 2.8.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.1

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

ステップ 2.8.5.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

ステップ 2.8.5.2.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

ステップ 2.8.5.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

ステップ 2.8.5.2.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

ステップ 2.8.5.3

$x^{4} x'$ と $4 x^{4} x'$ をたし算します。

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

ステップ 2.8.6

項を並べ替えます。

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = 3 x - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $3 x - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

ステップ 3.8

$2$ を $3 x - y$ の左に移動させます。

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

ステップ 3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

ステップ 3.9.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

ステップ 3.9.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

ステップ 3.9.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.4.1

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

ステップ 3.9.4.2

$- 1$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

ステップ 3.9.4.3

$- 1 y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

ステップ 3.9.4.4

$3$ に $2$ をかけます。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

ステップ 3.9.4.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

ステップ 3.9.4.6

$y$ を $1$ 乗します。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

ステップ 3.9.4.7

$y$ を $1$ 乗します。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

ステップ 3.9.4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

ステップ 3.9.4.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

ステップ 3.9.4.10

$- y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 3.9.5

項を並べ替えます。

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺から $3 y^{2} x'$ を引きます。

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x^{4}$ を引きます。

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

ステップ 5.3

$x'$ を $5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x'$ を $5 x^{4} x'$ で因数分解します。

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

ステップ 5.3.2

$x'$ を $4 x^{3} y x'$ で因数分解します。

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

ステップ 5.3.3

$x'$ を $- 3 y^{2} x'$ で因数分解します。

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

ステップ 5.3.4

$x'$ を $x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ で因数分解します。

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

ステップ 5.3.5

$x'$ を $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ で因数分解します。

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

ステップ 5.4

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ の各項を $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ の各項を $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ で割ります。

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.4.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.3

$- 1$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.4

$- 1$ を $6 x y$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.5

$- 1$ を $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.6

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.7

$- 1$ を $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.8.1

$- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ を $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ に書き換えます。

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

微分積分 例

微分積分例