微分積分例

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{2 - 2}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 4}$ を ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.11

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.13

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.14

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.15

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.16

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.17

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.18

式を書き換えます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.19

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.20

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.21

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.22

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x^{2} - 4}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

ステップ 2

分子が正で、分母 $\sqrt{x^{2} - 4}$ が0に近づき、右側の $2$ に近い $x$ について0より大きいので、関数は境界なく増加します。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例