微分積分例

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

ステップ 1

$u = 4 x^{4} + 5$ とします。次に $d u = 16 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 x^{4} + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x^{4} + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 x^{4} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $4$ をかけます。

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$16 x^{3} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$16 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$16 x^{3}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{16}$ と $4$ をまとめます。

$\int \frac{4}{16} u d u$

ステップ 2.2

$\frac{4}{16}$ と $u$ をまとめます。

$\int \frac{4 u}{16} d u$

ステップ 2.3

$4$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ を $4 u$ で因数分解します。

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

ステップ 2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

ステップ 2.3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{u}{4} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int u d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ を $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

ステップ 5.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $4 x^{4} + 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$

微分積分 例

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