微分積分例

$y = x^{2} \cos (x)$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{2} \cos (x))$

ステップ 2

右側を展開します。

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ステップ 2.1

$\ln (x^{2} \cos (x))$ を $\ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$ に書き換えます。

$\ln (y) = \ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$

ステップ 2.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2})$ を展開します。

$\ln (y) = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\cos (x))]$

ステップ 3.2.2

総和則では、 $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

ステップ 3.2.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

ステップ 3.2.3.3

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

ステップ 3.2.4

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.4.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.4.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.4.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \sec (x) (- \sin (x))$

ステップ 3.2.5

簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = - \sec (x) \sin (x) + \frac{2}{x}$

ステップ 3.2.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{2}{x}$

ステップ 3.2.5.2.2

$\sin (x)$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}$

ステップ 3.2.5.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = - \tan (x) + \frac{2}{x}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (- \tan (x) + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$y' = (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

ステップ 5.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

ステップ 5.3.2

$\cos (x)$ を $x^{2} \cos (x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

ステップ 5.3.3

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

ステップ 5.3.4

式を書き換えます。

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

ステップ 5.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$x$ を $x^{2} \cos (x)$ で因数分解します。

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$y' = - \sin (x) x^{2} + 2 (x \cos (x))$

ステップ 5.5

$- \sin (x) x^{2} + 2 x \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$y' = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

微分積分 例

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