微分積分例

$y = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{5}}{10}$ の微分係数は $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 2.3

$5$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 2.4

$\frac{5}{10}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 2.5

$5$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$5$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{6 x^{3}}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

ステップ 3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

ステップ 3.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

ステップ 3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

ステップ 3.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

ステップ 3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{2 - 6})$

ステップ 3.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

ステップ 3.8

$- 3$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6} x^{- 4}$

ステップ 3.9

$\frac{- 3}{6}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{6}$

ステップ 3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6 x^{4}}$

ステップ 3.11

$- 3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{6 x^{4}}$

ステップ 3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.2.1

$3$ を $6 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})}$

ステップ 3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})}$

ステップ 3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2 x^{4}}$

ステップ 3.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$

微分積分 例

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