微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{\sin (x)}$ を $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

ステップ 1.2

$\sin (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\sin (x)})$ を展開します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

ステップ 3

$\sin (x) \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

ステップ 4.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ 値が $0$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

ステップ 4.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

ステップ 4.3.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\sin^{- 1} (x)$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

ステップ 4.3.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

ステップ 4.3.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

ステップ 4.3.4.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

ステップ 4.3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

ステップ 4.3.6

簡約します。

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ステップ 4.3.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

ステップ 4.3.6.2

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

ステップ 4.6

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

ステップ 4.7

分数を分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4.8

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

ステップ 4.9

$\frac{\sin (x)}{x}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

ステップ 5

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

ステップ 6

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 6.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.2.3

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 6.1.2.5.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.2.5.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.2.5.3

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 6.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 6.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{0}{0}}$

ステップ 6.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.5

簡約します。

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ステップ 6.3.5.1

項を並べ替えます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.5.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.5.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.5.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.5.2.4

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.5.2.5

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.5.2.5.1

$\cos (x)$ と $\tan (x)$ を並べ替えます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.5.2.5.2

正弦と余弦に関して $\cos (x) \tan (x)$ を書き換えます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.5.2.5.3

共通因数を約分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 6.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

ステップ 6.4

項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

$\sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

ステップ 6.4.2

公分母の分子をまとめます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

ステップ 6.5

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $1$ で割ります。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 7.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 7.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 7.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 7.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 7.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 7.7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 7.8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

ステップ 7.9

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 8

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 8.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 8.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 8.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 9.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 9.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 9.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 9.1.5

$0$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 9.1.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

ステップ 9.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{- \frac{0}{1}}$

ステップ 9.3

$0$ を $1$ で割ります。

$e^{- 0}$

ステップ 9.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 10

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

微分積分例