微分積分例

$\frac{2 - \frac{1}{x}}{x - 3}$

ステップ 1

$f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [2 - \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 - \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ です。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ をたし算します。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x - 3) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.6

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 4.9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.2

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.5

$- - \frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + 1 \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.5.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 + \frac{1 + 1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.2

まとめる。

$\frac{x (- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x \cdot - 2 + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.5

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 \cdot x + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.6

$x$ と $\frac{3}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.7

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3 \cdot x}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.8

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.8.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.8.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.6

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 x - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$- 2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{- 2 x \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.7.2

$- 2 x$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.7.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.7.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.7.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.7.5

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + \frac{2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.7.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3 + 2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.7.7

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.9

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}$ に $\frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x (x {(x - 3)}^{2})}$

ステップ 5.9.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.9.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x^{1} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1 + 1} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.10

$- 1$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x^{2}) + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.11

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x^{2}) - (- 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.12

$- 1$ を $- (2 x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.13

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.14

$- 1$ を $- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.15

$- (2 x^{2} - 2 x + 3)$ を $- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.16

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例