微分積分例

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (e)$

ステップ 2.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (t)$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 3.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\ln (t)$ および $1$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

ステップ 5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

ステップ 6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

ステップ 6.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\ln (t)}$ は $0$ に近づきます。

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

ステップ 6.4

極限を求めます。

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ステップ 6.4.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$0 + 1$

ステップ 6.4.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

微分積分 例

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