微分積分例

$\tan^{2} (n θ)$

ステップ 1

$f (θ) = θ^{2}$ および $g (θ) = \tan (n θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (n θ)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (n θ)$ で置き換えます。

$2 \tan (n θ) \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

ステップ 2

$f (θ) = \tan (θ)$ および $g (θ) = n θ$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $n θ$ とします。

$2 \tan (n θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d θ} [n θ])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [n θ])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $n θ$ で置き換えます。

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (n θ) \frac{d}{d θ} [n θ])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $n θ$ の微分係数は $n \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \frac{d}{d θ} [θ])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \cdot 1)$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$n$ に $1$ をかけます。

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$

ステップ 3.3.2

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$ の因数を並べ替えます。

$2 n \sec^{2} (n θ) \tan (n θ)$

微分積分 例