微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{3}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^{3}}$

ステップ 1.2

両辺に $y^{3}$ を掛けます。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^{3}})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

まとめる。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{x y^{3}}$

ステップ 1.3.2

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$y^{3}$ を $x y^{3}$ で因数分解します。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

ステップ 1.3.3

$1$ に $1$ をかけます。

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} y^{4})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ と $y^{4}$ をまとめます。

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

ステップ 3.3

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

ステップ 3.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

微分積分 例

微分積分例