微分積分例

$y = \frac{x^{2} + b^{2}}{x^{2} - b^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + b^{2}$ および $g (x) = x^{2} - b^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + b^{2}] - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + b^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b^{2}]$ です。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b^{2}]) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [b^{2}]) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

$b^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $b^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$2$ を $x^{2} - b^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{2} - b^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- b^{2}]$ です。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- b^{2}])}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- b^{2}])}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7

$- b^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- b^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- b^{2})) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x + (- 2 x^{2} - 2 b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 b^{2} x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.5.1.1

$2 x^{2} x$ から $2 x^{2} x$ を引きます。

$\frac{2 (- b^{2}) x + 0 - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

$2 (- b^{2}) x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (- b^{2}) x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 b^{2} x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$- 2 b^{2} x$ から $2 b^{2} x$ を引きます。

$\frac{- 4 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

分母を簡約します。

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ステップ 3.7.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = b$ です。

$- \frac{4 b^{2} x}{{((x + b) (x - b))}^{2}}$

ステップ 3.7.2

積の法則を $(x + b) (x - b)$ に当てはめます。

$- \frac{4 b^{2} x}{{(x + b)}^{2} {(x - b)}^{2}}$

微分積分 例

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