微分積分例

$\int \ln (2 x + 1) d x$

ステップ 1

$u = \ln (2 x + 1)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ と $\frac{2}{2 x + 1}$ をまとめます。

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

ステップ 2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

ステップ 4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

ステップ 5

$x$ を $2 x + 1$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 5.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + \frac{1}{2}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

ステップ 5.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

ステップ 11

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 11.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 11.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 11.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 11.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 11.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

ステップ 12.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 14.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 15

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

ステップ 16

簡約します。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

ステップ 17

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

各項を簡約します。

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ステップ 18.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 18.1.2

$\ln (| 2 x + 1 |)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

ステップ 18.2

$\frac{x}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

ステップ 18.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 18.3.1

$\frac{x}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

ステップ 18.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

ステップ 18.4

公分母の分子をまとめます。

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

ステップ 18.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

ステップ 18.5.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 18.5.3

共通因数を約分します。

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 18.5.4

式を書き換えます。

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 18.6

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 19

項を並べ替えます。

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 20

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$ を $\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$ に書き換えます。

$\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21

簡約します。

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ステップ 21.1

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\ln (2 x + 1) x - x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.2

$- x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (2 x + 1) x - x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.3

$- x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.4

公分母の分子をまとめます。

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.6

公分母を利用して $\ln (2 x + 1) x$ と $\frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ を組み合わせます。

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ステップ 21.6.1

$\ln (2 x + 1)$ と $x$ を並べ替えます。

$x \ln (2 x + 1) + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.6.2

$x \ln (2 x + 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x \ln (2 x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.6.3

$x \ln (2 x + 1)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2 - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 21.7

$2$ を $x \ln (2 x + 1)$ の左に移動させます。

$\frac{2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 22

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

微分積分 例

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