微分積分例

$4 y^{2} + x y - 2 x^{2} = 3$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} + x y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 y^{2} + x y - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $4$ をかけます。

$8 y y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 y y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.3.4

$y$ に $1$ をかけます。

$8 y y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$8 y y' + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 y y' + x y' + y - 2 (2 x)$

ステップ 2.4.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$8 y y' + x y' + y - 4 x$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$8 y y' + x y' - 4 x + y$

ステップ 3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$8 y y' + x y' - 4 x + y = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺に $4 x$ を足します。

$8 y y' + x y' + y = 4 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$8 y y' + x y' = 4 x - y$

ステップ 5.2

$y'$ を $8 y y' + x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $8 y y'$ で因数分解します。

$y' (8 y) + x (y') = 4 x - y$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' (8 y) + y' (x) = 4 x - y$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (8 y) + y' (x)$ で因数分解します。

$y' (8 y + x) = 4 x - y$

ステップ 5.3

$y' (8 y + x) = 4 x - y$ の各項を $8 y + x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (8 y + x) = 4 x - y$ の各項を $8 y + x$ で割ります。

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$8 y + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{4 x - y}{8 y + x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - y}{8 y + x}$

微分積分 例

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