微分積分例

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

ステップ 1

総和則では、 $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ の $k$ に関する積分は $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ です。

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt{x}$ は $k$ に対して定数なので、 $k$ に対する $k \sqrt{x}$ の微分係数は $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ です。

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ は $n k^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

ステップ 2.3

$\sqrt{x}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{k}$ を $k^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$x$ は $k$ に対して定数なので、 $k$ に対する $x k^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ は $n k^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.9

$\frac{1}{2}$ と $k^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.10

$x$ と $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $k^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$

微分積分 例

微分積分例