微分積分例

$x \sqrt{2 x - 1} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sqrt{2 x - 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$x \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4

$u = 2 x - 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

$u^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ を $\frac{1}{3} x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.2

$\frac{x}{3}$ と ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.3

$\frac{2}{5}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.4

$5$ に $6$ をかけます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.5

$2$ と $30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.5.2.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9.2.6

$- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

ステップ 9.2.7

$- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 9.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 9.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 9.2.10

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

ステップ 9.2.11

$- 3$ と $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ をまとめます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

ステップ 9.2.12

$3$ を $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

ステップ 9.2.13

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.13.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

ステップ 9.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

ステップ 9.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 9.2.14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 9.2.15

$x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 9.2.16

$x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 9.2.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 9.2.18

$5$ を $x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{5 \cdot (x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 9.2.19

$\frac{\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ を積として書き換えます。

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

ステップ 9.2.20

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 9.2.21

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{15} (5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例